Másodikos lányomat sikerült rávenni, hogy részt vegyen néhány beküldős matekversenybe. A feladatokat én is nyilván nagyon élvezem. Főleg azért mert nagyon jó inspirációkat ad arra, hogy miként lehet ennek a korosztálynak gondolkodásra nevelő feladatokat adni. 

A versenyek közül számomra egyértelműen a mozaik kiadó versenye a győztes: http://www.mozaik.info.hu/verseny/index.php?cmd=openpage_4 . Egyrészt nagy izgalom volt hogy interneten kell bekattintgatni, meg hogy e-mail kell hozzá. Másrészt szerintem ebben a korban még nem baj, hogy a megoldásokat nem kell szabatosan leírni. Elég itt még a verbális indoklás és aztán a helyes válasz egyszerű megjelölése. 

Volt múlt héten egy feladat ami megtetszett: egy sorban 37-en állunk és kétszer annyian állnak előttem, mint mögöttem. Hányadik vagyok a sorban? Hogy kell ezt egy másodikos gyereknek megoldani, ha nem akarunk egyenletet meg törteket látni, sőt még osztást se nagyon. Ime a megoldás (37 helyett 13-al):

-rajzoljunk 13 karikát:

ooooooooooooo

-huzzunk át elöl kettőt hátul egyet

xxoooooooooox

-aztán megint csinaljuk ugyanezt

xxxxoooooooxx

-és így tovább. végül:

xxxxxxxxoxxxx

Kész is van. Csak meg kell számolni hányadikat nem húztuk át.

Valahogy asszem az a lényeg, hogy amíg nem beszélhetünk egyenletekről, de egyenletekre vezető feladatot kell mégis megoldani, akkor valahogy végig kell csinálni az egész egyenletrendezést szemléletesen.

 Hosszú hallgatás után, és számos személyes bátorítás után ismét aktivizálom kicsit magam, és leírom az elmúlt pár hónapban szembejött feladatocskákat gondolatokat.

Még a téli sielésünk alatt nyúztam ezzel a feladattal elsős lányomat és két barátnőjét. Ekkortájt tanultak arról, hogy gondoltam egy számot hozzáadtam kettőt és a 9 kisebbok páratlan szomszédját kaptam. Mire gondoltam... Meg efféléket. Bőven használták már a kivonást és kiváncsi voltam hogy valójában értik e a mögötte lévő koncepciót. Kérdésem a következő volt: Mennyit kell adni a 10 és a 7 különbségéhez, hogy 10-et kapjunk? A lányok perszed elkezdték vadul kiszámolni a 10-7 -et utána meg a 10-3 -at. De én persze ezt nem fogadtam el.

A helyes magyarázatért egy csokit tűztem ki, ami pár napig folyamatos rávezetések után sem talált gazdára. Végül rajzoltunk számegyenest és láttuk, hogy két szám különbsége milyen látvanyos és intuitiv fogalom. 

Végül mindenki megkapta a Balaton szeletet.

A minap beszélgettem valakivel arról, hogy miképp lehet a gyerekeknek elmagyarázni a nulla fogalmát. És hogy miképp viszonyulhatunk a tulajdonságaihoz. Például hogy páros-e.

Kénytelen vagyok itt elidőzni a gondolatok logikus építkezésén. A magyarázat ugyanis erősen függhet attól, hogy miképp is magyaráztuk el (definiáltuk :) a párosság fogalmát a gyerekeknek. Én itt most a rövidség kedvéért javaslok egy logikai láncolatot, ami szerintem működik:

1) A páros számú pl. gyerek-sereg az olyan, hogy minden gyerek tud magának párt találni. Ellentétben a páratlan számú gyerek-sereggel, ahol valakinek nem jut pár. Ezt akár el is játszanám pár gyerekkel. :)

2) Tudatosítsuk, hogy minden szám vagy páros vagy páratlan. És ezt egyértelműen minden számról el tudjuk dönteni.

3) Azok tehát a páratlan számok amelyek esetén a gyerek-seregben marad valaki pár nélkül.

4) A nulla tagú gyerek-seregben nincs senki pár nélkül, hiszen nincs is benne senki. A nulla tehát nem lehet páratlan. Következésképpen páros.

Persze lehet hogy egyszerűbb eljátszadozni a számegyenessel. Észrevesszük, hogy minden második szám páros (ez is egy fontos tulajdonság ám!), így tehát a 2-ről jobbra  kettőt lépünk, újra páros számhoz kell jutnunk. a nulla tehát páros... 

Minap kérdeztem iskolás lányomtól, hogy jelentkezett-e, felszólították-e az iskolában.

-Igen apa. Matekórán az volt a kérdés, hogy melyik nagyobb a 3+4 vagy a 4+5, és én mondtam, hogy az egyik 7, a másik meg kilenc, tehát a 4+5 a nagyobb.

-Ácsi! és ,eg tudnád mondani melyik  a nagyobb anélkül, hogy kiszámolnád?

Szerintem fontos már az ilyen egyszerű feladatoknál is rámutatni a dolgok különböző tulajdonságaira, és hogy nem mindig csak a szokásos hosszú út járható. Néha vannak rövidítések, amit azért fontos felismerni, mert néha csak pont ezek a rövidítések járhatóak. 

Ha tehát azt, hogy a 4+5 azért nagyobb a 3+4-nél, mert mindkét oldalon ott a 4 és az 5 meg nagyobb mint a 3, már ezen a szinten belátja, akkor sokkal természetesebben fog viszonyulni a nyitott mondatokhoz, később meg az egyenletekhez.

Játszottunk még kicsit ezzel, és a végén már annyira ment hogy a: Melyik nagyobb 2+2 vagy 3+3 is simán ment kiszámolás nélkül. Jó játék szerintem ez ami vicces módon talán még tankönyvekbe is beférhetne...

A minap egy barátom küldött egy linket áltisisek matekversenyéről (http://www.bolyaiverseny.hu/matek/). Kicsit nézegettem a harmadikosoknak szóló feladatot, hátha megfog benne valami. Volt is egy érdekes kérdés, miszerint (kb.) "Mennyivel nagyobb a 28 és 54 közötti páros számok összege mint a páratlanoké?". Gondoltam ezt kicsit megkönnyítve fel lehet már adni elsős lányomnak. A feladat tehát így szólt melyik nagyobb és mennyivel a 10 alatti páros vagy a páratlan számok összege?

A feladatot az esti program végefele sikerült elmondanom neki, így már közel volt az alvás.. Kb fél órát gondolkodott és odáig jutott, hogy ugyanannyi páros és páratlan szám van 1 és 10 között. Szívesen vártam volna még hátha jut egyedül tovább is, de sajna a dolog végére kellet járnunk mert volt még egykis befejeznivalója és nem tudott rá koncentrálni...

Így aztán elő a go-kövekkel és 5 perc alatt lezavartuk a feladat megoldását az alábbi módon: 

 Kiraktam a páratlan számokat feketével, a párosakat fehérrel. az egyel nagyobb páros kupacokat rendre a páratlan kupacokkal szembe. A szembelévő kupacokat párosítottuk, és hamar kiderült, hogy minden szembeláévő kupac-pár esetén a páros (fehér) kupac egyel nagyobb a páratlan kupacnál.

Így aztán hamar kisült, hogy a páros-összeg lesz nagyobb és pont annyival ahány szám/kupac volt.

Asszem ha több időnk van úgy jétszottunk volna, hogy valahogy rávezettem volna a feladat go-kövekkel való modellezésére is. Ez ugyanis fontos része a feladat megoldásának. Majd legközelebb ügyesen választom az időpontot az efféle játékokhoz ;-) 

 Hétvégén játszottunk picit. Színeket raktunk sorba. Az ötlet onnan adódott, hogy láttam az (elsős lányom) matekkönyvébe olyan feladatot, hogy "Színezd ki különféleképpen az alábbi ábrákat!" stb. Más kérdés, hogy a könyv egy picit alaposabb is lehetne, és ha egy ilyen feladatban pl. 6 féle színezés lehetséges, akkor rajzolhatna igazán 6 kiszínezendő ábrát. No mindegy nem kell ide nagy faxni, csak egy lap meg pár színes ceruza.

Az első feladat az volt, hogy rajzoljon különböző 3 hosszú pontsorozatokat. Ez rögtön ment. Látszott, hogy ilyesmi azért szerepel az iskolában. Persze fontos itt is elidőzni picit:

- Biztos hogy csak ennyi színezés van?

-Igen, mert mindegyik volt kétszer első, és többször nem lehet mert mögötte csak Így lehet vagy úgy (közben mutatja a felcserélését két színnek). 

 Nos ha ez ilyen jól megy, akkor hozz mégegy színt! (Sajna hagytam hogy a világoskék legyen, pedig sötétkék már volt... a piros biztos megszökött...)  Akkor most nézzük hányféleképp lehet négy színt sorbarakni. Az alábbi ábra született, valamiért ballról-jobbra lentről-felfelé kivitelben. Az hogy itt minden kezdődjön világoskékkel az Ő döntése volt. Felismertük, hogy ebből is pont hat van, és hogy a világoskéken kívül le lehetett volna másolni akár az előző ábrát is. Ezután a következő sorban már végig berajzolta a sötétkékeket előre és azt félretette. Szép lassan elkészült a mű.

Felismertük hogy összesen 4*6=24 helyes sorrend van, mivel 4 szín lehet az első helyen a maradék 3 színt pedig mindig hatféleképp lehet sorbarakni. Jó móka volt!

Ez egy viszonylag régebbi történet. Talán másfél éve lehetett (tehat kb 5 éves volt a lányom), mikor elkeztünk különböző méretű poharakkal Hanoi tornyosat játszani. Leraktunk három szalvétát az asztalra, ezek az alapok, az egyikre tettünk 3 poharat (egy nagy bögrét, egy közepes vizes-poharat és egy pálinkásat talán). A feladat, hogy úgy tegyük át a poharakat az egyik szalvétáról a másikra, hogy közben nem rakhatunk kis pohárra nagyobb poharat.

A játékszabályok tehát nagyon egyszerűek és a gyerekek nagyon gyorsan megértették, és nagy-nagy kedvvel játszották. Később játszottunk négy egymásba rakott pohárral is, a még nagyobb sikerélmény kedvéért.

Nekem volt szerencsém meglátni a megcsillanó szemüket, mikor már átlátták a rekurziót és a megoldáshoz vezető utat. Próbáljátok ki, jó móka!

Egyik reggel vittem elsős lányomat az isibe, és közben beszélgettünk az iskoláról. Mi a legérdekesebb? Melyik tárgyakat szereted? Mi a legnehezebb?

-Hát apa, a matek bonyolítja kicsit az életemet. A logikai lapos feladatokban már kétszer is hibáztam.

No, este elővettük a munkafüzetet és valóban volt benne két feladat, amikben hibázott. Olyasmik voltak, hogy melyik az a lap, amelyik nem lyukas, nem piros és nem kék, nem nagy és négyzet. 

Biztos mindenki találkozott már ezekkel a logikai lapokkal, a velük való játszadozás egy ideje része az áltisis oktatásnak.  

Kicsit tovább kérdezgettem, hogy játszottak e a lapokkal miközben a feladatot oldották, de úgy tűnt, nem osztotta ki a tanárnéni.. Mondjuk biztos nehéz lehet kezelni, ha a sok nebuló egyszerre nekiesik a sok-sok lapocskának... (Asszem egyébként talán butaság, hogy annyira bonyolult és időigényes visszatenni őket a dobozba.)

Este előszedtük a lapocskákat (vettünk otthonra két dobozzal) és játszadozni kezdtünk. Először persze a kitalálós játék adódott, ami nagyon jól ment, úgy hogy a lapok előtte voltak fizikai valójukban. Ezt játszottuk úgy is, hogy én mondtam meg a szabályokat, meg úgy is, hogy lányomnak kellett kitalálni a kérdéseket. Ez utóbbi egyébkent lényegesen nehezebb, de mikor megkértem rá, hogy a 3. kérdés után válogassa ki a lehetséges lapokat, rögtön tudta mit kell kérdezni.

Mikor ez már jól ment jött a kisebbik 4 éves lányom is és hárman játszottuk a dominó-szerű játékot. Itt az a szabály, hogy mindig olyat kell rakni, ami a sorban előtte lévőtől pontosan egy tulajdonságban különbözik. Nagyobbik lányom egy idő után elkezdte szétválogatni a lapjait tulajdonságopk alapján. Ez jó hír! A logikai lapokat ugyanis pont arra találták ki, hogy a halmazokra bontást gyakorolják a gyerekek...

Van egy közepesen jó matuzsálemi korú könyv amiben további jópofa feladatok is vannak. 

A történet úgy szól, hogy a lányom iskolaválasztása kapcsán bemutatótanításon jártunk egy negyedikes osztályban. A feladat az volt, hogy egy ötjegyű számról döntsük el mi mindennel osztható. (Sajnos az már az óra korábbi szakaszában kiderült, hogy a gyerekek nem igazán érzik hogy mekkorák is ezek a számok, de ez most mindegy.) Asszem talán arra rájöttek a gyerekek hogy páros, de a tanítónéni ennél többet szeretett volna, így megkérdezte, hogy vajon osztható-e 3-mal.  Mi is  a szabály? Csúfos -mondhatni kínosan égő- dolgok következtek. Hogyaszongya 0-ra vagy 5-re végződik, meg ilyesmi. 

A jelenet szépen rávilágít arra a tényre, hogy a matematika órán véletlenül sem gondolkodni tanulnak a gyerekek, hanem szabályokat magolnak... Aztán majd az áltisi végén görcsös gyomor és misztikum lengi körül a matekot. Ezt most vajon azért nem tudom, mert nem tanították, vagy tán tanították csak nem értettem, vagy régebben értettem, és most érdemes lenne újra meggondolni, hátha rájövök... Gyrkori távolba révedő tekintetek és gondolkodásról leszokott gyerekek lesznek így a felnövekvők.

Persze az óra után megkérdeztem a tenerőt, hogy miképp magyarázta el a gyerekeknek, hogy működik a 3-mal oszthatóság szabaálya, miszerint a 3-mal oszthatóság ekvivalens a számjegyek összegének 3-mal oszthatóságával. A válasz kiábrandító, de sajnos valószínüleg jellemző: 

-Elosztottunk néhány számot és láttuk, hogy igaz...

Hümm-hümm... és vajon az osztás szabályát értik a gyerekek? De ezt msot hagyjuk 

Mit is kéne szerintem csinalni ezzel a fránya 3-mal oszthatósággal. Lehet például azt a megoldást választani, hogy kivesszük a tantervből és helyette valami érdekes gondolkodásra nevelő feladatokat tanítunk. De meg lehet azért ezt is tanítani.

Mondjuk elsőre ismertessük fel azt a tényt, hogy azok a számok, melyeknek minden számjegye osztható 3-mal, maga is osztható 3-mal. Persze mutassunk példát gyorsan arra, hogy ez a feltétel nem elégséges! (Például a 12 megsérti, de a 36-nál kiválóan működik.) Ha ezzel megvagyunk ismerjük fel, hogy a 9, 99, 999, 9999,... típusú számok, akik a fenti szabály szerint oszthatóak 3-mal, pont úgy állnak elő, hogy 10-1, 100-1, 1000-1,...

Ezután már csak meg kell tanulni, hogy mit is jelent a 325. Merthogy ugye az 3x100+2x10+5. Ezt egyébként szerintem amúgy is ki kell hangsúlyosni, mikor elkezdünk többjegyű számokat itkálni.

És akkor már csak kicsit kell dolgozni, hogy lássuk miért is érvényes a szabály... 

Így lesz gondolkodásra nevelés a 3-mal való oszthatóságból. És a dolog nem lóg tovább a levegőben. A gyerekek tuti nem fogják a 0-ra vagy 5-re végződős mesét mondani, ha odajutunk...

Régóta foglalkoztat a gondolat hogy cseperedő gyermekeim vajon hogyan gondolkodnak a világ bugyrairól. Mit kell ahhoz tennem hogy tudásukat az érdeklődés és a kíváncsiság és ne a muszáj hajtsa. Játszom is ezt a játékot néha nagyobbik lányommal de gondoltam hátha mások másképp gondolják, vagy épp más területeken látják másképp a kreatív gondolkodáshoz vezető utat. 

Én egyelőre úgy gondolom, hogy főleg a matematika és határterületei környékén meríteném a témákat, de remélem idővel sikerül megnyerni szerzőtársnak néhány jóbarátomat, akik a állatokkal az emberi testtel a csillagászattal a nyelvtanítással vagy éppen az irodalommal kapcsolatban helyeznek el gondolatébresztő bejegyzéseket. 

Ízelítőül egyik kedvencem álljon itt. Az 5-6 éves gyerekeknek már kivállóan megtanítható a páros-páratlan fogalom. Mondjuk párosával lerakva a babokat/go-köveket mindegyikük el tudja dönteni hogy adott számú kő esetén van e aki egyedül maradt. Egy idő után már bármilyen számról is el tudják dönteni hogy páros avagy páratlan. Mi egy időben azt játszottuk a gyerekeinkkel, hogy páros napon anyával, páratlanon pedig apával aludtak. Szépen kiderült így hogy páros szám után mindig páratlan jön és vica versa. (Például ez a tapasztalás szerintem nagyon sokat segít a fogalom megértésében, mégoly triviális ez a felnőttek számára.)

Mikor lányaim már értették a foglmat és ezt a számokhoz is hozzá tudták kötni, egyszercsak azt kérdeztem tőlük, hogy vajon milyen szám lesz két páratlan szám összege. Ez már egy száp absztrakciós szint, ha meggondoljuk! Persze a válasz nem érkezett meg túl könnyen, vagy tán egyáltalán nem. Ekkor játszani kezdtünk: az oviban két csoportban párokban labdáznak a gyerekek. De sajnos mindkét csoportban van egy-egy kisgyerek (a Marci meg az Évi) akiknek nincs párja. Most a két csoport kimegy az udvarra, és tovább labdáznak párokban. Lesz e mindenkinek párja? És persze ez így könnyű, hogy a Marci meg az Évi majd együtt labdáznak, és hát persze így mindenkinek jut majd pár. 

A feladatot tehát jól sikerült motiválni és így egészen pici gyerekek is meg tudták oldani, ezzel egy apró lépéssel közelebb kerülve a paritás fogalmának megértéséhez.